Si tratta della proposizione VI dell'articolo del 1931 Sulle proposizioni formalmente indecidibili dei «Principia Mathematica» e dei sistemi affini con cui Gödel confuta la completezza dei Principia Mathematica di Russel, dimostrando che la coerenza di un sistema formale è indimostrabile all'interno del sistema stesso o, in altri termini, che non esiste un sistema formale capace di produrre tutte le verità aritmetiche.

   Il teorema di Gödel è la traduzione in termini matematici del paradosso di Epimenide.
   In parole povere attraverso un sistema di numerazione degli enunciati (notazione gödeliana) Gödel trasforma le relazioni tra le dimostrazioni in relazioni tra numeri giungendo ad un enunciato bifronte: ossia un enunciato che da un lato esprime proprietà aritmetiche dei numeri naturali e dall'altro, attraverso la notazione, si esprime su se stesso, asserendo di essere falso.
   È una proposizione che afferma la propria falsità: è vera solo se falsa e viceversa.
   Incoerenza e incompletezza sono Scilla e Cariddi dei sistemi formali: se si dimostra la completezza del sistema si cade nell'incoerenza, se si afferma la coerenza si cade nella incompletezza.
   Ma riprendiamo le parole di Hofstadter dove “G” sta per il teorema di Gödel e “AT”, per Aritmetica Tipografica, un sistema affine ai Principia Mathematica.